給家人的投資課 · Q2 投資人季 · Week 15

現代投資組合理論（MPT）入門

上週的配置是「該擺多少」，本週是它背後的數學——為什麼分散是投資裡唯一的免費午餐。

⏱ 預估 3–5 小時前置：第 14 週52 週 · 第 15 週
本週在三個角色中的定位：MPT 是 Q2 配置哲學的理論根、Q3 整季（Sharpe、因子、歸因）的語言基礎、以及 CAPM（Q4 週 42 算資金成本）的前身。
開始前 10 分鐘：回顧上週家庭心理測試的結果——「100 萬變 60 萬」對方的第一個念頭是什麼？記下來了嗎？煮湯比喻（火／鍋蓋／那杯水）講通了嗎。

開始之前，先猜一題

一個 100% 債券的組合（波動 6%），加入一成「更危險」的股票（波動 18%）——整體波動會怎樣？

區塊 ① ／ 講義 · 約 2 小時

1. 用兩個數字描述一個資產

MPT（Markowitz, 1952）的起手式：任何資產壓縮成兩個數字——期望報酬 E(r)（平均賺多少）與標準差 σ（波動多大）。本週沿用上週的量級：

  1. 股票：E ＝ 7%、σ ＝ 18%
  2. 債券：E ＝ 3%、σ ＝ 6%

σ 的直覺：報酬大約 2/3 的年份落在「平均 ± 1σ」內——股票即 −11% ～ +25%，這就是「正常的一年也可能是負的」的數學表達。

2. 組合的魔術：報酬是加權平均，風險不是

兩資產組合（權重 w 與 1−w）：

E(rp) = w·E₁ + (1−w)·E₂

報酬：乖乖加權平均，沒有魔術。

σp² = w²σ₁² + (1−w)²σ₂² + 2·w(1−w)·ρ·σ₁σ₂

風險：有第三項！ρ（相關係數，−1～+1）就是整個 MPT 的靈魂——兩資產不完全同步（ρ<1）時，組合波動小於加權平均，互相抵消的部分就是免費午餐。

3. 親手拉一次：效率前緣繪圖器

下面的曲線是「股票權重從 0% 拉到 100%」的所有組合。拉 ρ 看曲線怎麼彎、拉權重看你的點在哪：

效率前緣繪圖器（股 E7%/σ18% · 債 E3%/σ6%）

風險 σ（%） 期望報酬 E（%）
所有股債組合 「風險＝加權平均」的假想線（ρ＝+1） 你的組合 最小波動點
期望報酬 E(rp)
5.40%
組合波動 σp
11.75%
加權平均波動
13.20%
免費午餐（省下的波動）
−1.45 pt

練習的驗證點就在預設值：ρ=+0.3、股 60%——E 應為 5.40%、σ 應為 11.75%。數字為講義量級假設，非預測。

免費午餐的極致示範：把 ρ 調到 0、權重拉到 10%——純債券組合（σ＝6%）加入一成股票後，波動降到 5.69%、期望報酬還從 3% 升到 3.4%。對「一點股票都不敢碰」的極保守者，這是最有力的一課：適量的「危險資產」反而讓整體更安全——因為它跟債券走不同的路。

4. 效率前緣：所有聰明組合的天際線

曲線上緣叫效率前緣（efficient frontier）：同樣風險下報酬最高的組合集合。三個判讀：

  1. 前緣下方的組合都是輸家（同風險、較低報酬）——「全債券」通常就在前緣下方（第 3 節的原因）
  2. 前緣上沒有唯一最佳點——選哪個點由你的風險承受度決定（接回 W14 的三要素）
  3. 加入更多低相關資產（全球股票、不同天期債券），整條前緣往左上推——這就是 W14「多元分散」的數學版

5. 分散的極限：系統性風險

把股票從 1 檔加到 20 檔，波動快速下降；加到 100 檔，幾乎不再降。因為風險有兩層：

  1. 非系統性風險（個別公司的倒楣事）：可以分散掉，市場不會為它付你報酬（因為免費就能消除）
  2. 系統性風險（整個市場一起跌：衰退、升息、戰爭）：分散消不掉，這才是股票長期報酬的來源（承擔它的補償）

幾檔才算分散？

量級示意模型：市場層波動 16%、個股獨有波動 25%，等權重、獨有風險互相獨立（σ² = 16² + 25²/N）。實務結論：15–20 檔不同產業已消除大部分非系統性風險——這是 W18 倉位管理與「ETF 一次到位」的理論根據。

6. MPT 的三個侷限（誠實面對）

  1. 輸入是歷史，未來會變：E、σ、ρ 全是回頭看的估計；尤其 ρ——危機時相關性趨近 1（2008、2020 各資產齊跌），減震器在最需要時最弱（Q3 週 37 主題）
  2. σ 不等於風險的全部：把「漲很多」和「跌很多」同等計為波動；Marks 的批評（W25）：真正的風險是本金永久損失
  3. 常態分布假設：真實市場「肥尾」——極端事件遠比鐘形曲線預測的頻繁
結論

MPT 是思考框架（分散為什麼有效、風險怎麼組合）而非精密儀器；用它的直覺，不迷信它的小數點。

區塊 ② ／ 必讀導讀 · 約 2 小時，與講義穿插

讀什麼、抓什麼

60 分
MIT OCW 15.401 組合理論講次 ↗

學術版推導（Lecture: Portfolio Theory）；目標是看懂每個符號，不需背證明。

20 分
Markowitz (1952)「Portfolio Selection」↗

選讀導論與結論——讀原典開頭那句精神：投資人該關心的是組合整體，不是單一證券。

15 分
Investopedia「Efficient Frontier」↗

看圖補直覺——和上面的繪圖器對照。

選讀
《漫步華爾街》MPT 章節

科普版再走一遍。

區塊 ③ ／ 練習 · 約 1 小時

親手畫出效率前緣

用試算表（延用 W1 複利表的檔案，開新分頁）：

  1. 參數格：E_股=7%、σ_股=18%、E_債=3%、σ_債=6%、ρ（可切換）
  2. 權重欄：股票 0%、10%、…、100%（11 列）
  3. 每列計算 E(rp) 與 σp（用講義公式；驗證：ρ=0.3、60/40 那列應為 E=5.4%、σ=11.75%——和上面繪圖器的預設值對照）
  4. 畫散布圖（X=σ、Y=E），分別把 ρ 設 0.3／0／−0.3 看曲線怎麼彎
  5. 找出：ρ=0 時，哪個權重的 σ 最低？（應在股票 10% 附近——親眼看到「加股票降風險」）
  6. 寫 100 字：我的 W14 目標配置落在曲線的哪一段？我對它的位置滿意嗎？
✅ 驗收標準：驗證點（5.4%、11.75%）通過；三條 ρ 曲線畫出；找到 ρ=0 的最小波動點。

自我檢核

快問快答三題（先答，再展開對答案）

Q1 兩資產 ρ＝+1 時，組合波動是什麼？免費午餐還在嗎？

→ σp ＝ w·σ₁＋(1−w)·σ₂（恰好是加權平均）——第三項不再打折，免費午餐消失；完全同步的資產放再多也沒有分散效果。把繪圖器的 ρ 拉到 +1 看：曲線變成直線、貼上虛線。

Q2 為什麼市場不補償非系統性風險？

→ 因為它免費就能消除（多買幾檔即可）——市場只補償「無法逃避」的承擔；不肯分散而承擔個股風險，是自願不領免費午餐，市場不會另發薪水。

Q3 2008 年「股債分散」有用、「股票內部分散 50 檔」沒用——用兩層風險解釋。

→ 50 檔台股消除的是非系統性風險（個別公司），但 2008 是系統性風險（整個市場）——只有跨資產類別（股 vs 債）的分散碰得到系統性層次；而且即使如此，危機中 ρ 上升也會讓效果打折。

區塊 ④ ／ 分享這個概念 · 費曼學習法 · 約 30 分鐘

雨傘店與冰淇淋店

講到別人聽懂，才算真的懂——這是檢驗學習最快的方法（費曼學習法）。以下腳本以家人為對象設計，講給朋友、同事聽同樣適用。

開場（雨傘與冰淇淋）

「一個小鎮只有兩家店：雨傘店和冰淇淋店。你只能投資一家、或各投一半——哪個選擇讓你每年都睡得著？」（下雨傘店賺、出太陽冰店賺——各一半的人旱澇保收。）

核心觀念

「這就是分散的祕密：不是選更多股票，是選走不同路的資產。數學上還有個神奇結果——全部買最安全的債券，再加一成股票，整體反而更穩，因為它們常常一個跌時另一個沒跌。」

互動：家庭資產健檢

「我們家的資產：房子、薪水、存款、股票——哪些其實是『同一家店』？」（引導發現：幾乎全是「台灣景氣」這家店——連回上週的全球化配置。）

預期反應與應對

「那多買幾檔台股就分散了？」
「50 檔台股在海嘯來時一起跌——分散要跨『會不會一起跌』的界線（資產類別、國家），不是湊數量。」

「聽起來分散就無敵了？」
誠實講侷限：「真正的大風暴裡大家會一起跌（2008）；分散讓你跌得淺、活得下來，不是不會跌。」

區塊 ⑤ ／ 完成檢核

本週完成的定義