給家人的投資課 · Q1 共同地基 · Week 01
複利與貨幣時間價值
Time Value of Money——所有金融計算的第一塊磚。
開始之前，先猜一題
每個月存 1 萬元，連續存 30 年，用年化 6% 的報酬投資——最後會有多少錢？
區塊 ① ／ 講義 · 約 2 小時
1. 一個核心觀念：今天的 100 元 ≠ 明年的 100 元
如果我欠你 100 元，跟你說「明年還」，你吃虧了——因為你今天拿到 100 元可以存起來生利息，明年會變成比 100 元多。錢有時間價值，時間的價格就是利率。
所有金融計算只做一件事：把不同時點的錢，換算到同一個時點再比較。往未來換叫「複利」（compounding），往現在換叫「折現」（discounting）。
2. 終值（FV）：往未來滾
- PV（Present Value）：現在的錢
- r：每期報酬率 n：期數
關鍵在指數 n——利息會再生利息。單利是直線，複利是曲線，時間越長差距越誇張。
單筆 100 萬、年化 6%、放 30 年：FV = 100萬 × 1.0630 = 574.3 萬
前 10 年只從 100 萬變 179 萬（+79 萬），最後 10 年卻從 320 萬變 574 萬（+254 萬）。複利的爆發在後段——「越早開始越好」是數學，不是雞湯。
親手滾一顆雪球
拉動參數，觀察哪一個對終值的影響最大。（這也是本週練習第 6 步。）
以表格檢視資料（每 5 年）
| 年 | 累積本金 | 終值 | 利息佔比 |
|---|
3. 現值（PV）：往現在折
把公式反過來：
這裡的 r 改叫折現率（discount rate）：你要求的報酬率越高，未來的錢在你眼中越不值錢。
30 年後的 1,000 萬，用 8% 折現，今天值多少？PV = 1,000萬 ÷ 1.0830 = 99.4 萬
只值不到 100 萬。這個「未來的大數字折回來其實很小」的直覺，是 Q2 學 DCF 估值時最重要的心理準備——分析師嘴裡的「十年後獲利翻五倍」，折現後可能沒你想的值錢。
4. 年金（Annuity）：每期固定投入或領取
每期期末投入固定金額 C，累積 n 期的終值；以及每期期末領 C、領 n 期的現值：
每月存 1 萬、年化 6%（月利 0.5%）——就是開頭那題：
| 年數 | 投入本金 | 終值 | 利息佔比 |
|---|---|---|---|
| 10 年 | 120 萬 | 163.9 萬 | 27% |
| 20 年 | 240 萬 | 462.0 萬 | 48% |
| 30 年 | 360 萬 | 1,004.5 萬 | 64% |
30 年存到千萬，其中 640 萬是複利長出來的。注意 10→20 年終值幾乎三倍、20→30 年又翻一倍多——再次看到複利的後段爆發。
退休後每年想領 60 萬、領 25 年，退休金要準備多少？假設退休後資產仍有 4% 報酬：
PV = 60萬 × (1 − 1.04−25) ÷ 0.04 = 937.3 萬
準備約 940 萬就夠——不需要 60萬 × 25年 = 1,500 萬，因為還沒領走的錢持續在生息。這條公式 Q4 算貸款、Q2 算穩定配息公司的價值，都會再出現。
5. 72 法則：心算翻倍時間
為什麼是 72？翻倍的精確條件是 (1+r)n = 2，取對數得 n = ln2 ÷ ln(1+r)。ln2 ≈ 0.693，而小 r 時 ln(1+r) ≈ r，所以 n ≈ 69.3 ÷ r%。用 72 而不是 69.3，是因為 72 可以被 2、3、4、6、8、9、12 整除，心算方便，而且在常見報酬率區間（4–10%）更準：
| 年報酬率 | 72 法則 | 精確值 |
|---|---|---|
| 2% | 36.0 年 | 35.0 年 |
| 4% | 18.0 年 | 17.7 年 |
| 6% | 12.0 年 | 11.9 年 |
| 8% | 9.0 年 | 9.0 年 |
| 12% | 6.0 年 | 6.1 年 |
6. 常見誤解闢謠
「年化 6% 就是每年穩穩 +6%」
年化是幾何平均，實際路徑上下劇烈波動；同樣年化，波動大的路徑讓人半途放棄的機率高得多（Q3 週 27 會學波動拖累）。
「複利要靠高報酬」
公式裡 n 是指數、r 只是底數的一部分；拉長時間比追高報酬可靠，而追高報酬通常伴隨讓你中途出場的波動。
「定存也有複利，何必投資」
對，但要跟通膨賽跑：定存 1.5% − 通膨 2% ＝ 實質負報酬。這正是下週的主題。
區塊 ② ／ 必讀導讀 · 約 2 小時，與講義穿插
讀什麼、抓什麼
資源：Khan Academy「Finance and Capital Markets」（免費）
重點：單利 vs 複利的圖形差異。預期收穫：能自己畫出兩條線。
重點：折現的方向感——利率越高，未來的錢越不值錢。預期收穫：看到任何「未來會有 X 元」的敘述，反射性地問「折現率多少？」
行有餘力再看：學術版的嚴謹寫法。
區塊 ③ ／ 練習 · 約 1 小時
建立你自己的複利試算表
用 Google Sheets 或 Excel。這張表之後的課程還會再用到——它是整年課程的第一個常備工具。
- 開一張表，欄位：年｜期初餘額｜當年投入｜當年利息｜期末餘額
- 參數格獨立放最上面：月投入 = 10,000、年化報酬 = 6%
- 拉出 30 年（或 360 個月），公式全部引用參數格（不要寫死數字）
- 驗證終值（見下方框）；若差距大，檢查：投入是期初還期末？月利率是否 = 6%÷12？
- 加一欄「單利對照」（本金 + 本金×0.5%×月數），畫出兩條線的圖
- 玩參數：報酬改 4%、8%；月投入改 5,000、20,000——觀察哪個參數影響大（可先用上面的互動計算機找感覺，再用自己的表驗證）
自我檢核
加分題：年化 8% 之下，100 萬變成 800 萬要幾年？（用 72 法則心算）
100 萬 → 800 萬 ＝ 翻 3 倍（2³）。8% 之下翻一倍 72 ÷ 8 = 9 年，翻三次 ＝ 27 年。
精確計算：ln8 ÷ ln1.08 = 27.0 年——心算與精確幾乎一致。
區塊 ④ ／ 分享這個概念 · 費曼學習法 · 約 30 分鐘
先玩，再講
講到別人聽懂，才算真的懂——這是檢驗學習最快的方法（費曼學習法）。以下腳本以家人為對象設計，講給朋友、同事聽同樣適用。
開場（就是本頁最上面那題）
「猜猜看：每個月存一萬塊，連續存 30 年，用年化 6% 的報酬投資，最後會有多少錢？」
讓每個人喊一個數字再揭曉。多數人會猜 400–600 萬——低估複利是人類通病，猜錯正好是教學起點。
揭曉
「答案是一千萬。你們存進去的其實只有 360 萬，另外 640 萬是利滾利長出來的。」
核心比喻：滾雪球
「複利像滾雪球——雪球前十年看起來都小小的，因為球小、沾的雪少；但球一大，每滾一圈沾的雪比你當初整顆球還大。所以雪坡要夠長（時間），比雪多大顆（報酬率）更重要。」
互動 2：教 72 法則
「報酬率 6%，72÷6＝12 年翻一倍。那定存 1.5% 呢？」——48 年才翻倍。順勢預告下週：而且通膨還在偷偷扣你的錢。
預期反應與應對
「6% 哪裡來？會不會賠？」
誠實回答：這是全球股市長期歷史量級，中間會有大跌年份，這正是之後要學的。不要含糊帶過——家人的信任來自誠實。
「我現在才開始會不會太晚？」
「最好的時間是 20 年前，第二好的時間是今天。」＋展示 10 年也有 164 萬。
本腳本可搭配專欄 #1《為什麼要投資》一起給家人讀。
區塊 ⑤ ／ 完成檢核